ヤコビ行列

複数の入力変数を複数の出力変数に写す関数（ベクトル値関数）の、すべての偏微分をまとめた行列です。

$\boldsymbol{z} = f(\boldsymbol{x})$ という関数があるとします。

  • 入力: $\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_n)$（$n$ 個）
  • 出力: $\boldsymbol{z} = (z_1, \dots, z_m)$（$m$ 個）

出力の各成分 $z_j$ は入力の各成分 $x_i$ に依存しうるので、偏微分 $\dfrac{\partial z_j}{\partial x_i}$ が全部で $m \times n$ 個存在します。これを行列の形に並べたものがヤコビ行列です。

\[J = \frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \boldsymbol{x}} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial z_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial z_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial z_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial z_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} \quad (m,n) \text{ の行列}\]
  • 行 $j$: 出力 $z_j$ を基準に見た偏微分
  • 列 $i$: 入力 $x_i$ を基準に見た偏微分

直感的なイメージ

スカラー関数1個の勾配 $\nabla f$ は「出力が1個（$m=1$）の特殊なヤコビ行列」と考えられます（$1 \times n$ の行ベクトル）。

ヤコビ行列は、それが複数の出力に一般化された版です。「入力を少し動かしたとき、出力の各成分がどう変化するか」を線形近似する行列、とも言えます。