条件付き確率と事後確率 | 確率・統計

同時確率

事象 Aと事象 Bが同時（両方とも）に起きる確率を $P(A, B)$ （や $P(A \cap B)$ ）と表し、同時確率（や共起確率）と呼びます（同時確率は事象の独立性を仮定しません¹）。

確率の乗法定理

\[P(A, B) = P(A|B)P(B) \quad ※ P(B|A)P(A) も同じ\]

事象 A と 事象 B が両方起こる確率は事象 B が起こる確率 $P(B)$ と事象 B が起こった後に事象 A が起こる確率 $P(A \mid B)$ の積で表されます。
また事象 A と事象 B が独立なときは $P(A \mid B) = P(A)$ なので以下が成り立ちます。

\[P(A, B) = P(A)P(B) \quad ※\ 事象 A, 事象 B は互いに独立\]

条件付き確率と事後確率

\[P(A|B) = \frac{P(A, B)}{P(B)}\]

条件付き確率と事後確率は「数式の定義 $P(A \mid B)$」は同じですが使われる文脈や意味合いが異なります。

• 条付き確率：事象 B が起きたという条件で事象 A が起こる確率という形式全般を表す
• 事後確率：新しいデータ（証拠）が得られた後に更新された仮説や原因の条件付き確率でベイズの定理で表される

ベイズの定理

結果（事象 B ）からその原因（事象 A ）を逆推測する²。

\[P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\] \[P(原因|結果) = \frac{P(結果|原因)P(原因)}{P(結果)}\]

どちらも計算結果は同じになる。

\[P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}\] \[P(結果|原因) = \frac{P(原因|結果)P(結果)}{P(原因)}\]

1. 独立性の有無に関わらず、2つ以上の事象が同時に起きる確率のことはすべて「同時確率」と呼びます。 ↩

2. 原因（事象 A ）が起きたという条件で結果（事象 B ）が起こる確率を考えるのが正しい筋道と考えてベイズの定理を認めない統計学者もいる。 ↩