二項分布

ベルヌーイ試行を $n$ 回繰り返したときの成功した回数の合計が従う分布を二項分布と呼びます。

\[P(X = x) = \binom{n}{x}P^x(1-P)^{n-x} \quad x\in{0,1,2,...,N}\]

二項分布の期待値

\[E[X] = Np\]

式展開は省略します。

二項分布の最尤度

\[\frac{x}{N}\]

ベルヌーイ分布の最尤度と二項分布の最尤度の関係

※ ベルヌーイ試行をベースにした確率分布（ベルヌーイ分布・二項分布など）において、最も尤もらしい確率 $p$ を最尤法で求めると、データの持ち方がどうあれ、最終的には必ずデータの平均値（標本平均）に一致します。

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \iff \frac{x}{N}\]

補足：組み合わせ（二項係数）

\[\binom{n}{x} = {}_n C_x = \frac{n!}{x!(n-x)!}\]

順列・組み合わせの数 も参考にしてください。