ベルヌーイ分布確率・統計

ベルヌーイ分布

結果が 2 通りしか存在しない試行（ベルヌーイ試行）を 1 回だけ行ったときの確率分布¹をベルヌーイ分布と呼びます。
確率変数が成功 = 1 、失敗 = 0² のベルヌーイ分布は以下とおりです。

\[P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x} \quad x\in{0,1}\]

ベルヌーイ分布の期待値 $E[X]$ は p です。

\[\begin{aligned} E[X] = (0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) \\ E[X] = (0 \times (1-p)) + (1 \times p) = p \end{aligned}\]

ベルヌーイ分布の分散 $Var(X)$ は $p(1 - p)$ です。

\[Var(X) = p(1 - p)\]

n 個の観測値 $x_1,…,$x_n$（ $x_i$ は成功 = 1、失敗 = 0 ）の最尤推定量は以下のとおりです。 $\begin{aligned} \hat{p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \end{aligned}$

詳細は最尤推定法を参照してください。
ベルヌーイ分布・二項分布では、パラメータ $\hat{p}$ は成功確率 $p$（スカラー）に対応します。

ベルヌーイ試行を $n$ 回繰り返したときの成功した回数の合計が従う分布を二項分布と呼びます。

\[P(X = x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \quad x\in{0,1,2,...,n}\]

\[E[X] = np\]

式展開は省略します。

二項分布の分散 $Var(X)$ は $np(1 - p)$ です。

\[Var(X) = np(1 - p)\]

\[\frac{x}{n}\]

※ ベルヌーイ試行をベースにした確率分布（ベルヌーイ分布・二項分布など）において、最も尤もらしい確率 $p$ を最尤推定法で求めると、データの持ち方がどうあれ、最終的には必ずデータの平均値（標本平均）に一致します。

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \iff \frac{x}{n}\]

\[\binom{n}{x} = {}_n C_x = \frac{n!}{x!(n-x)!}\]

順列・組み合わせの数も参考にしてください。