線形代数

線形独立・線形従属（一次独立・一次従属）

ベクトル空間 $V$ のベクトル $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ が線形独立なら以下を満たします。

\[c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0} \implies c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0\]

これらの線形結合がゼロベクトルになるのは、係数がすべて $0$ の場合に限られます。

線形独立でないとき、線形従属と言います。。線形従属なら少なくとな 1 つは $0$ でない係数 $c_i$ が存在します。

\[c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}\]

イメージ

線形独立の場合、のベクトルも、他のベクトルの組み合わせでは作れなと言えます。

• 線形独立:それぞれが新しい方向を持っている(無駄がない)
• 線形従属:どれかが他のベクトルで作れてしまう(無駄がある)

例:平面で $(1, 0)$ と $(0, 1)$ は独立、$(1, 2)$ と $(2, 4)$ は同じ方向なので従属です。