カイ二乗分布
カイ二乗分布（chi-squared distribution）は、標準正規分布に従う独立な量の二乗和が従う分布です。t分布 の統計量 $T=Z/\sqrt{V/\nu}$ の分母にある $V$ の分布として現れます。
定義
独立な標準正規分布に従う $Z_1,\dots,Z_k$ の二乗和を $V$ とします。
\[V = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2 \sim \chi^2_k\]この $V$ の分布が、自由度 $k$ のカイ二乗分布です。
- 二乗和なので $V\ge 0$ で、右に裾を引く形になります。
- 平均は $k$ です。
平均が $k$ になる理由
標準正規分布 $Z$ の平均は 0、分散は 1 です。分散は「平均からのずれの二乗の平均」で、平均が 0 なら $Z^2$ の平均そのものになります。
\[E[Z] = 0, \qquad E[Z^2] = \text{Var}(Z) = 1\]$V$ はこの $Z_i^2$ を $k$ 個足したものなので、和の平均は平均の和になり、
\[E[V] = E[Z_1^2] + \cdots + E[Z_k^2] = 1 + \cdots + 1 = k\]となります。
不偏分散との関係
母集団が正規分布で、標本が互いに独立に得られたなら、次が成り立ちます。
\[V = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} = \frac{\sum (X_i-\bar X)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\]これは「$n$ 個の標準化したずれの二乗和」に見えますが、$\bar X$ を使うため、ずれの合計が 0 になる制約があります。自由に動けるのは $n-1$ 個なので、自由度も $n-1$ になります。
また、$\bar X$ と $s^2$ は互いに独立になります。これは正規分布のときだけ成り立つ性質で、$T$ が t分布になるための前提です。
$T=Z/\sqrt{V/\nu}$ になる理由
$\nu=n-1$ とすると、$s/\sigma=\sqrt{V/\nu}$ なので、
\[T=\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{s} =\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)/\sigma}{s/\sigma} =\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}\]分子 $Z$ は標準正規分布に従います。$\sigma$ は約分で消えるので、未知の $\sigma$ に依存しません。