対数（Logarithm）
底の明記がないときは自然対数の底として進めます。
\[y = \log{x} \quad 0 < x < \infty\]
特徴
- $x > 1 \implies y > 0$ （$x$ が $1$ より大きければ、$y$ はプラスになる）
- $x = 1 \implies y = 0$
- $0 < x < 1 \implies y < 0$
- $\lim_{x \to 0^+} \log x = \infty$
- $\lim_{x \to 0^-} \log x = -\infty $
性質
\[\log xy = \log x + \log y\] \[\log \frac{x}{y}= \log x - \log y\] \[\log x^n = n \log x\] \[\log x_1 \cdot x_2 \cdots x_n = \log \prod_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{n} \log x_i\]微分
\[\frac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x} \quad (x > 0)\]$x$ が大きくなるほど傾きが緩やかになります（小さくなる）。
- $x > 0 \implies y’ > 0$（$x$ が正の範囲では、傾き $y’$ は常にプラス。つまり、グラフは常に右上がりの状態が続く）
- $\lim_{x \to 0^+} y’ = \infty$（$x$ が $0$ に近づくほど、傾き $y’$ は無限大に大きくなる。垂直に近いレベルで急激に立ち上がる）
- $\lim_{x \to \infty} y’ = 0$（$x$ が大きくなればなるほど、傾き $y’$ は $0$ に近づく。グラフの伸びはどんどん横ばいに緩やかになる）
負の対数関数
\[y = -\log{x} \quad -1 < x < \infty\]